分數布朗運動及其在保險金融中的應用

基本信息

副題名

外文題名

論文作者

張驊月著

導師

郭軍義指導

學科專業

概率論與數理統計

學位級別

博士論文

學位授予單位

南開大學

學位授予時間

2007

關鍵詞

布朗運動 隨機分析 風險分析 金融 保險

館藏號

F224.7

館藏目錄

2009\F224.7\4

中文摘要

自19世紀60年代
，Mandelbrot使科學界注意"長程相關性"以(yi)來(lai)，這(zhe)個(ge)概(gai)念(nian)變(bian)得(de)越(yue)來(lai)越(yue)重(zhong)要(yao)。如(ru)今(jin)
，具(ju)有(you)長(chang)程(cheng)相(xiang)關(guan)性(xing)的(de)隨(sui)機(ji)模(mo)型(xing)已(yi)經(jing)激(ji)發(fa)了(le)人(ren)們(men)很(hen)大(da)的(de)研(yan)究(jiu)興(xing)趣(qu)
，並(bing)且(qie)被(bei)成(cheng)功(gong)地(di)應(ying)用(yong)到(dao)不(bu)同(tong)領(ling)域(yu)。例(li)如(ru)，在(zai)排(pai)隊(dui)係(xi)統(tong)，流(liu)體(ti)模(mo)型(xing)，通(tong)信(xin)網(wang)絡(luo)模(mo)型(xing)，交(jiao)通(tong)模(mo)型(xing)，儲(chu)存(cun)模(mo)型(xing)和(he)金(jin)融(rong)。參(can)閱(yue)[21]，[41]，[62]，[68]，[80]
，[81]，[82]

， [96]

，[102]和[106]。 分數布朗運動是一個常被使用的具有長程相關性的過程。關於分數布朗運動的研究最早可追溯到Kolmogorov[58]，並命名為Wiener螺線。Mandelbrot和Van Ness在一篇開創性的論文[69]中首次提出了"分數布朗運動"這一名字。關於分數布朗運動的詳細介紹
，參閱[30]或[94]。 fenshubulangyundongzuoweiyizhongmonigongjuyoushibibiaozhunbulangyundonggengjialinghuo。tabeiyonglaimonigongchengxue，wulixuehejinrongshuxuezhongdegeshigeyangdesuijishuju。benwenwomenjizhongkaolvtazaibaoxianjinrongzhongdeyingyong。 zuijinjinianbaoxianjinrongzhengzaipengbofazhanbingqiequdexiangdangfengshuodechengguo。jitifengxianlilunsuoguanxindeshibaoxiangongsidezongzichanhefengxianyuedesuijibodong。duiyugudianfengxianmoxing
，suopeiguochengshiyongyigejuyoukongjianqicixinghedulizengliangxingdefuhebosongguochenglaimiaoshude。genjuguochengderuoshoulian
，[52]用帶漂移的布朗運動來近似風險過程。在風險理論中，一個擴散近似的現代版本被[34]和[35]給出。由於它們比較完美的性質
，幾乎所有的精算變量包括破產時間、破產前餘額
、破產時赤字的精確結果都已經被得到。近來
，兩個風險模型下的一些最優問題包括再保險、投資和分紅被關注
，並且部分已得到解決。 迄今，人們一直用具有馬爾科夫性的隨機過程來描述索賠過程。但在大部分情形下，保險公司的索賠過程呈現出長程相依性:給定時刻t後過程的行為，不僅依賴於t時刻的信息，而且還依賴於時刻tyiqiandelishi。zhezhongxianxiangshiburonghushidebingqiehenkenengduibutongdewentichanshengyingxiang
，liruchangfunengli
，dingjiajizuiyouzaibaoxianshuipingdengdeng。yinci，zuijinfenshubulangyundongbeiyonglaimonibaoxiangongsikenengmianlindesuopei，(參閱[3]， [20]，[32]
，[33]，[75]和[76])。 在幾何布朗運動的框架下，Black和Scholes建立了著名的期權定價理論。然而
，古典金融資產的數學模型仍不完善。兩個明顯的問題存在於Black-Scholes公式中，即金融資產的價格過程不總是高斯和馬爾科夫的。為了更好地描述金融資產的價格
，人們引入了更一般的模型，例如重尾Levy過程和隨機波動率模型。後來


，通過重標極差法(R/S)，研究人員發現證券市場的波動有明顯的持久性，然後他們試著用分數布朗運動模擬股價和其他資產價格，參閱[36]，[37]和[70]。 研究包括分數布朗運動的隨機微分方程所描述的係統是很自然的。在此體係下，一些標準問題
，例如預報
、參數估計和濾波已經得到了很好的解決，參考[12]
， [14]，[38]，[54]，[55]
，[56]
，[60]，[78]和[86]。保(bao)險(xian)和(he)金(jin)融(rong)中(zhong)的(de)優(you)化(hua)問(wen)題(ti)已(yi)經(jing)吸(xi)引(yin)了(le)人(ren)們(men)很(hen)大(da)的(de)興(xing)趣(qu)。然(ran)而(er)
，大(da)部(bu)分(fen)的(de)結(jie)果(guo)是(shi)在(zai)馬(ma)爾(er)科(ke)夫(fu)控(kong)製(zhi)係(xi)統(tong)下(xia)得(de)到(dao)的(de)。所(suo)以(yi)，在(zai)更(geng)廣(guang)的(de)環(huan)境(jing)下(xia)研(yan)究(jiu)最(zui)優(you)控(kong)製(zhi)問(wen)題(ti)有(you)其(qi)理(li)論(lun)和(he)實(shi)際(ji)價(jia)值(zhi)。最(zui)近(jin)人(ren)們(men)開(kai)始(shi)注(zhu)意(yi)到(dao)分(fen)數(shu)布(bu)朗(lang)運(yun)動(dong)擾(rao)動(dong)的(de)係(xi)統(tong)下(xia)的(de)最(zui)優(you)控(kong)製(zhi)間(jian)題(ti)。例(li)如(ru)，[23]嚐試著去解一般的最優間題。[46]和[47]莫定了分數布朗運動市場上最優理論和最優消耗的基礎。[49]研究了stop-loss-start-gain投資組合並且給出了標準期權定價的內在價值和時間價值的Carr-Jarrow分解。 另一方麵，線性二次規劃是一個典型而且重要的隨機控製類，它可以被解決通過一個相關的黎卡提方程。就我們知道的，[57]得到一個有限時間區間上簡單線性二次規劃的完備解。[51]考慮了分數布朗運動所擾動下隨機線性係統的一些最優控製間題。盡管如此，LQ問題仍沒有被完全展示。所以，我的博士畢業論文主要致力於分數布朗運動擾動體係下，保險金融中LQ間題的進一步研究。 但(dan)是(shi)，對(dui)於(yu)分(fen)數(shu)布(bu)朗(lang)運(yun)動(dong)隨(sui)機(ji)控(kong)製(zhi)間(jian)題(ti)的(de)研(yan)究(jiu)，不(bu)可(ke)避(bi)免(mian)地(di)要(yao)涉(she)及(ji)到(dao)關(guan)於(yu)它(ta)的(de)隨(sui)機(ji)微(wei)分(fen)，相(xiang)關(guan)的(de)隨(sui)機(ji)積(ji)分(fen)和(he)微(wei)分(fen)方(fang)程(cheng)。因(yin)為(wei)分(fen)數(shu)布(bu)朗(lang)運(yun)動(dong)不(bu)是(shi)半(ban)鞅(yang)，極(ji)其(qi)豐(feng)富(fu)的(de)半(ban)鞅(yang)隨(sui)機(ji)積(ji)分(fen)理(li)論(lun)不(bu)能(neng)直(zhi)接(jie)應(ying)用(yong)。下(xia)麵(mian)
，我(wo)們(men)使(shi)用(yong)最(zui)近(jin)在(zai)[26]中定義地關於分數布朗運動的隨機微分。另外
，由於分數布朗運動的非馬氏性，著名的Hamilton-Jacobi-Bellman方程不能被應用但是我們可以采用鞅方法和完全平方的方法去解決相應的控製問題。 本篇論文的結構和內容安排如下: 第一章，我們介紹了分數布朗運動的定義、性質及其關於分數布朗運動隨機積分理論的主要結果。 dierzhang
，womenzhuyaoyanjiulefenshubulangyundongraodongxiadegudianfengxianguochengdezuiyoushurujianti。tongguowanquanpingfangdebanfa


，zuiyoukongzhicelvedefenxijiebeidedao。lingwai，womenhaidedaoxiangyingdezuiyouzhihanshu。 disanzhang
，womenzaidaipiaoyifenshubulangyundongdefengxianmoxingxia
，kaolvlebaoxiangongsidezuiyoushuruhetouziwenti。womengeichulezuiyoucelvecunzaidechongfentiaojian。jiezhuyuliangzhongbutongdebanfa

，zuiyoucelvedejiebeigeichu。lingwai，womendaochulexiangyingdezuiyouzhihanshu。zuihou，liangzhongteshudeqingkuangbeikaolv。 第四章，在風險需求和投資兩種控製下
，我們研究了動態均值-方差問題。基於HJB方程的粘性解和拉格朗日乘子技術

，我們給出了古典的Cramér-Lundberg模型和擴散模型下有效前沿和有效策略的閉形式的解。 第五章，我們研究了動態均值-fangchatouzizuhexuanzewenti
，qizhongfengxianguochengshibeifenshubulangyundongraodongdegudianfengxianguocheng。youxiaoqianyanhexiangyingdeyouxiaocelveyebeidedao，bingqieyubiaozhunbulangyundongqingkuangxiadejieguojinxinglebijiao。 第六章，我們考慮了在分數Black-Scholes市場上
，動態連續時間的均值-方差投資組合選擇問題。有效前沿和相應的有效策略也被導出。我們展現了在分數布朗運動的均值-標準差圖上有效前沿仍然是一條直線。最後
，我們在數值上比較了最優終端財富的期望
，方差分別與Hurst參數，初始資本和無風險利率之間的關係。 第七章

，當保費收入為時間的非線性函數時，我們給出了有限時間破產概率的上下界和無窮時間破產概率的顯式解。 需要指明，參考文獻末尾列舉了郭軍義教授和吳榮教授最近的一些工作。 關鍵詞:分數布朗運動 長程相關 風險控製 古典風險模型 均值-方差投資組合 隨機積分 有效前沿 完全平方辦法 隨機最大值原則 Hamilton-Jacobi-Bellman方程 半鞅 正倒向隨機微分方程 線性二次規劃 Malliavin導數 Clark-Haussmann-Ocone定理 破產概率 學科分類號:93E20，60G15
，60H07